D' apres le Larousse, les deux termes sont synonymes ......

convaincre :  amener quelqu' un à  par raisonnement ou par preuves à   reconnaître la vérité, l' exactitude d' un fait ou sa nécessité, le persuader

persuader : amener quelqu' un à  croire ou à  faire quelque chose , le convaincre !

mais persuader pourrait être utilisé avec une nuance : ils sont persuadés ( à  tort ) que....... 

Je ne suis pas convaincu que la même nuance ne puisse s' appliquer à  cconvaincre